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By Wolfgang Lück

Dies ist ein neues und modernes Lehrbuch über Topologie. Hauptgegenstand des Buches sind Homologie-, Kohomologietheorien und Mannigfaltigkeiten. Die ersten acht Kapitel geben eine Einführung in die "Algebraische Topologie": es werden Begriffe wie Homologie, CW-Komplexe, Produkte und Poincare Dualitäte eingeführt und deren Anwendungen diskutiert. In den davon unabhängigen Kapiteln nine bis thirteen werden Differentialformen und der Satz von Stokes auf Mannigfaltigkeiten behandelt. Diese Kapitel sind geeignet für eine Vorlesung "Analysis III" oder "Analysis auf Mannigfaltigkeiten". Die in den letzten beiden Kapiteln behandelte de Rham Kohomologie und der Satz von de Rham verbinden diese beiden Teile. Die Darstellung ist komprimiert und kommt schnell auf das Wesentliche, das Buch ist vielseitig in der Lehre einsetzbar.

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6. } besteht Sn ( { • }) aus einem Element und C~ing ( { • }) = R fUr n E Z, n ~ O. Das n-te Differential ng ist id: R --+ R fUr gerade positive n und 0: R --+ R fUr ungerade positive n. h. das Dimensionsaxiom ist erfUIlt. Sei {Xi liE I} eine Familie von topologischen Raumen. Da ~n zusammenhangend ist, induzieren die Inklusionen ji: Xi --+ IliE! 7) Isomorphismen von R-Moduln EB H~ing(ji): EB H~ing(Xi) ~ H~ing iEI iEI (II Xi) iEI (II Xi) iEI fUr aIle n E Z. Also ist das Axiom iiber disjunkte Vereinigungen erfiillt.

T csing(X A- R) --+ 0 *" . 13) Eine Abbildung f: (X, A) --+ (Y, B) induziert fUr aIle n E Z eine Kettenabbildung csing(f· R)· csing(X A- R) --+ csing(y B· R) * , . * " *" und damit eine Abbildung von R-Moduln Hsing(f· R)·. 14 (SinguHirer Kettenkomplex und singuHire Homologie). in g) heiflt singularer Kettenkomplex von (X, A) mit Koeffizienten in R. ing(X, A; R) heiflt die n-te singulare Homologie von X mit Koeffizienten in R und wird mit H~ing(x, A; R) bezeichnet. Falls R = Z ist, schreiben wir kurz H~ing(x,A).

En+l' 1)]. i=l Sei X ein topologischer Raum. Dann definieren wir eine R-lineare Abbildung indem wir einem Basiselement u: ~n -+ X das Element C~i~T(u x id[o,ll)(hn(~n)(bn)) zuordnen. Offensichtlich sind diese Abbildungen hn(X) natiirlich in X und obige Formel ist die einzige M6glichkeit, solche natiirliche Abbildungen hn(X) zu konstruieren, wenn man den Wert von hn(~n) auf bn festgelegt hat. Fiir t E [0,1] definiere it(X): X -+ X x [0,1] durch x f-t (x, t). 3 Beweis der Homotopieinvarianz fUr singulare Homologie fiir alle topologischen Raume X beweisen.

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