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By Peter Steinke

Die ausführliche Darstellung und die rechnergestützte Vorgehensweise dieses Lehrbuchs ermöglichen einen einfachen Einstieg in die Finite-Elemente-Methode (FEM). Nach einer Einführung in die mathematischen Grundlagen werden das Verfahren von Ritz, elastostatische Probleme und Potentialprobleme behandelt. Ausführliche Beispiele erleichtern das Verständnis. Die zweite Auflage ist um dynamische Probleme, neue Elementtypen und eine Vielzahl von Beispielen erweitert. Das Buch ist für Studierende sowie für Ingenieure in der Praxis und für Physiker geeignet. Die beigefügte CD-ROM enthält die Lernsoftware CALL_for_FEM. Diese bedient sich der Computeralgebra und beschreibt die Ableitungen des Buches in verallgemeinerter shape. In der zweiten Auflage sind die Programme verbessert sowie neue Programme zur Dynamik und zu Potentialproblemen hinzugefügt worden. Das Programm FEM_GEN dient zur interaktiven Erstellung (Preprozessing) von FE-Problemen. Videoclips erläutern die Handhabung der Programme. Aktualisierungen der software program sind zu finden unter: http://www.fh-muenster.de/fb3/steinke/hilfe/updates/updates.htm

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Die Dreiecksfl¨ ache l¨ aßt mit Hilfe von xij und yij schreiben als: A∆ = 12 (x21 y31 − y21 x31 ). 1 Ableitungen in Dreieckskoordinaten (Jakobi-Matrix) Jakobi-Matrix Die partiellen Ableitungen geschrieben werden als: ∂ ∂ und k¨ onnen mit Hilfe der Kettenregel ∂L1 ∂L2 ∂ ∂y ∂ ∂x ∂ + = ∂L1 ∂L1 ∂x ∂L1 ∂y ∂y ∂ ∂x ∂ ∂ + = ∂L2 ∂L2 ∂x ∂L2 ∂y (81) In Matrizenform ergibt sich daraus: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∂ ∂L1 ∂ ∂L2 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎦ ⎣ ∂x ∂L1 ∂x ∂L2 ∇∆ ∂y ∂L1 ∂y ∂L2 ⎤⎡ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎣ ∂ ∂x ∂ ∂y ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ∇ J ∇∆ = J ∇ (82) Die Matrix J in der voranstehenden Beziehung nennt man die Jakobi-Matrix.

Das Tonti-Diagramm............................................ 53 56 57 58 2 2 Mathematische Grundlagen In diesem Kapitel wird eine Zusammenfassung der mathematischen Hilfsmittel gegeben, die in den nachfolgenden Kapiteln ben¨otigt werden. Vertiefende Literatur wird jeweils an den entsprechenden Stellen angef¨ uhrt. 1 Schreibweisen Skalare Gr¨ oßen werden durch einen Klein- oder Großbuchstaben dargestellt. Vektoren (Tensoren erster Stufe) werden in der symbolischen Schreibweise durch einen Buchstaben mit einem Pfeil versehen (v).

Mit einem Doppelindex (Kij ) geschrieben. Matrizen, wie eine Dyade in symbolischer Form (A). Tensoren vierter Stufe weisen einen doppelten Unterstrich (D) oder alternativ vier Indizes (Dijkl ) auf. Ableitungen werden in der analytischen Form dadurch gekennzeichnet, daß der Index, nach dem abgeleitet werden soll, durch ein Komma von den ur die analytische Schreibanderen Indizes abgetrennt wird (ui,j ). Ferner gilt f¨ weise die Summationsvereinbarung [22] (ai bi ≡ i ai bi ). In expliziter Schreibweise wird ein Vektor als Spaltenvektor ausgef¨ uhrt: ⎤ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ v=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ v1 ..

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